O Modelo epidemiológico SIR proposto por Kermack e McKendrick em 1927 (HETHCOTE, 2000) é um dos modelos clássicos utilizado para a descrição da evolução do processo de contágio de doenças infecciosas. Este modelo composto por equações diferenciais emprega a estratégia de compartimentos e divide, em relação a doença, a população em indivíduos  que podem contrair, indivíduos que podem transmitir e indivíduos que se recuperaram e não estão sujeitos a nova contaminação denominados suscetíveis (S), infectados (I) e recuperados (R) respectivamente.

Matematicamente, um modelo SIR pode ser representado usando as seguintes equações diferenciais:

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onde β é a taxa de transmissão da doença, γ é a taxa de recuperação dos indivíduos, ambos são parâmetros positivos e característicos dos dados em análise.

Visando otimizar e estimar estes parâmetros para que os casos relatados e simulados sejam aproximadamente iguais, são usados valores iniciais para as variáveis de três estados 𝑆(0), 𝐼(0) e  𝑅(0).

O valor inicial 𝑆(0) é a comunidade população afetada pelo surto , enquanto, 𝐼(0) é o número de casos confirmados que podem ter qualquer valor, mas não zero. Podemos definir 𝑅(0) a zero se os horários de início do spread e simulação são iguais. A taxa de transmissão reduz monotonicamente com o tempo (HARKO, 2014).

Resolvendo o sistema (1) determinamos a função solução para a população de suscetíveis e obtemos (BATISTA, 2020).

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Dentre os parâmetros relevantes usados em modelos epidemiológicos como o SIR está a reprodutibilidade basal que é fornecida por R₀ (conhecida como taxa de reprodução) definida por R₀ = β/γ. A taxa R₀ é afetada, dentre vários fatores, pelo número de pessoas suscetíveis na população com as quais os pacientes afetados estão em contato podendo ser descrita como o número médio de pessoas que são infectadas por um único indivíduo (DELAMATER et al, 2019).

Segundo Ghani e Fergunson (2020), o valor de R₀ para o COVID-19 tem variado entre 1 e 7 (mais precisamente 1.1 a 6.95) ao longo do desenvolvimento da epidemia. Conforme indicado por Delamater et al (2019), um R₀ < 1 demonstra que o número de infectados decresce com o tempo e a epidemia tende a se erradicar, para valores de R₀ > 1 tem-se que a epidemia deve persistir na população por um longo prazo.

Assim, tomando o limite quando t tende ao infinito, o número de pessoas suscetíveis obtidos é:

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onde é a quantidade final de recuperados. Considerando que a quantidade final de infectados seja zero, tem-se:

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De (03) obtemos

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            Assumindo que os dados disponíveis são uma série temporal do número total de casos C = R + I, os parâmetros e os valores iniciais são definidos pela minimização da diferença entre os valores atuais e os números de casos calculados:

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onde C_t = (C₁,C₂,…,C_n) é o número de casos no instante t = 1,2,…,n e o vetor  corresponde aos valores estimados nos mesmos instantes de tempo dos valores informados. A minimização em questão foi obtida pela função fminsearch do MATLAB conforme Batista (2020).

Ressaltamos que na abordagem supracitada há três parâmetros a serem estimados, nomeadamente {β, γ, N} onde N é o tamanho efetivo da população. Denotamos tal variante pela sigla vSIR para diferenciar do modelo SIR padrão onde N é o tamanho total da população que é uma quantidade definida a priori. Computacionalmente, a solução numérica do sistema de equações vSIR é implementada com o software MATLAB empregando-se o método explícito de Runge-Kutta de quarta ordem (BATISTA, 2020).

Todas as análises com o modelo matemático deste estudo foram realizadas com os dados de casos confirmados de covid-19 para o Estado do Amapá, disponibilizados pela Secretaria Estadual de Saúde do Estado e o Ministério da Saúde do Brasil, ambos online, tratando-se de dados secundários, por esta razão, foi dispensável o registro da pesquisa em comitê de ética.